数学小天地

学习对数log有什么用？

1. 简化运算。

   乘法变加法: $$ \lg a·b=\lg a+\lg b $$ 除法变减法: $$ \lg \frac{a} {b}=\lg a-\lg b $$ 乘方变乘法: $$ \lg a^n=n·\lg a $$ 开方变除法: $$ \lg\sqrt [n] {a}=\frac {\lg{a}}{n} $$

2. 可以知道你把钱存银行什么时候能当上世界首富~

   例如，你现在手里有1万美元，2021年世界首富杰夫·贝佐斯以1914亿美元，就算天天存银行4%吧。

   你现在手里$a_0=10000$，每年的钱都是前一年的1.04倍，n年之后你手里的钱： $$ a_n=a_0·b^n $$ 两边取个对数： $$ \lg a_n=\lg a_0 +n·\lg b $$ 稍微整理一下： $$ n= \frac{(\lg a_n-\lg a_0)} {\lg b} $$ 代入数据： $$ n=\frac {\lg 1914,0000,0000-\lg 1,0000}{\lg 1.04}≈427.511118384年 $$

自然常数e≈2.71828182846…

复利

可以用复利解释。

1. 1块钱，一年付1次利息(利率100%)，一年后2块。
2. 一年付2次利息，1/2年(6个月)付1次利息(利率1/2)，一年后，2.25块。
3. 一年付3次利息，1/3年(4个月)付1次利息(利率1/3)，一年后2.37元。
4. …
5. 一年付n次利息，1/n年付一次利息(利率1/n)，一年后(1+1/n)^n。
6. 当n趋向于无穷大时，一年后的钞票不会无限变多，有个极限值e！

细胞分裂

类似的，也可以用细胞分裂解释。

1和0.9的循环哪个大？

$$ ∵ 1 = \frac{1}{3}+\frac{2}{3} $$

$$ 又∵0.999\cdots = 0.333\cdots+0.666\cdots $$

$$ ∴ 1=0.999\cdots！！！ $$

神奇的6174

任意的4个数字，组成的最大四位数减最小四位数，循环下去，最后都是6174！

$$ 9876－6789＝3087 $$

$$ 8730－378＝8352 $$

$$ 8532－2358＝6174 $$

$$ 7641－1467＝6174 $$

$$ \cdots $$

素数(质数)的作用:RSA密码原理

RSA密码，这种密码可靠性的基础是目前人们对于素因子分解的困难性。简单的说，将两个大素数相乘十分容易，但是想要对其乘积进行因式分解却极其困难。

斐波拉契数列

简介

第1、2项都为1，从第三项开始，后一项等于前面2项之和。 $$ F_1=1,F_2=1,F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2} (n\geq3) $$ 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,134，…

自然现象

向日葵花瓣

它依两个方向螺旋形排列，朝一个螺旋方向生长的花瓣数同朝向相反螺旋方向生长的花瓣数，几乎总等于斐波拉契数列中两个相邻的数。

松树松果

果鳞的排列呈螺旋状，各螺旋线上果鳞的数目，构成斐波拉契数列。

花瓣

一些花的花瓣构成斐波拉契数列中的一串数字：

1. 百合花，3个花瓣
2. 梅花，5个花瓣
3. 飞燕草，8个花瓣
4. 万寿菊，13个花瓣
5. 紫苑，21个花瓣
6. ……

数木的分支

1. 主干，1个分支
2. 上面第2的枝干，2个分支
3. 上面第3的枝干，3个分支
4. 上面第4枝干，5个分支
5. 上面第5枝干，8个分支
6. 上面第6枝干，13个分支
7. ……

黄金分割

黄金分割比怎么来的？

黄金分割比是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。

例如，一条线段，切割成两段，较短的一段(记为a)与较长的一段(记为b)的比值等于b与总体的比值。

设这条线段为1，b=x，则a=1-x

得： $$ \frac {1-x}{x}=\frac{x}{1} $$ 解得： $$ x=\frac {\sqrt{5} -1}{2}(负值舍去)≈0.61803398875 $$

斐波拉契数列与黄金分割

前一项与后一项的比值$\frac {F_{n}} {F_{n+1}}$： $$ \frac {F1}{F2}=\frac {1}{1} =1; \frac {F2}{F3}=\frac {1}{2} =0.5 $$

$$ \frac {F3}{F4}=\frac {2}{3} =0.666\cdots; \frac {F4}{F5}=\frac {3}{5} =0.6 $$

$$ \frac {F5}{F6}=\frac {5}{8} =0.625; \frac {F6}{F7}=\frac {8}{13} =0.615 $$

相邻两数的比值交替地大于或小于黄金比($\frac {\sqrt{5} - 1}{2}$)，并且该比值无限趋近于黄金比。

何为函数?

函，同"含"，意为包含，含有。 凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。

莫比乌斯带

莫比乌斯带由德国数学家莫比乌斯（Mobius，1790～1868）和约翰·李斯丁于1858年发现。就是把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质。比如，一只蚂蚁可以从纸带的一个表面不跨越式的爬到另一个表面。

什么是数学？

数学是符号加逻辑。——罗素

在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟。—— 拉普拉斯

数学中的一些美丽定理具有这样的特性：它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏的极深。——高斯

当我听别人讲解某些数学问题时，常觉得很难理解，甚至不可能理解。这时便想，是否可以将问题化简些呢﹖往往，在终于弄清楚之后，实际上，它只是一个更简单的问题。——希尔伯特

抽象

抽象是一个孤立的过程，是思考着逐渐将信息降维，以保留最普遍信息的一个过程。

逻辑

逻辑则是建立不同事物之间关系的过程，但并不涉及到信息的减少。

抽象和逻辑的关系

一个是简化信息，一个建立信息之间的联系。这两者实际上代表着数学学习过程中的两个不同过程，然而在实际的数学学习过程中，它们并不是明显可分的。

比如，孩子想要学习勾股定理并应用在梯子放在墙边的问题里，需要将这个实际问题抽象为基本的三角形问题，然后根据演绎推理：直角三角形满足勾股定理，梯子斜放墙边可以抽象为直角三角形，因此，可以用勾股定理求解。

所以，不要将两者孤立开来，它们同等重要。缺乏抽象思维，则面临信息过多而被淹没，缺乏逻辑，则难以建立问题与求解的关系。一边简化信息，一边建立问题与解的关系，才是最根本也是最重要的做法。而作为教育者，教会孩子如何看到这些东西，可能会比教会他怎么做题更有意义一些。

数学题目的提问清单

想学好数学，当别人眼中的学霸，乃至学神，需要常常问自己这些问题：

1. 这道题目考察的是什么知识点？
2. 这道题目有什么特点？哪些条件是关键条件？
3. 这道题目是如何运用书中的定理/定义的？这些知识点有什么变形方式？
4. 这个类型题都有什么解法？
5. 这道题目除了答案给出的解法，是否可以用别的解法？
6. 哪种解法更适用，为什么？

数学中最重要的能力

1. 理解能力。知其然，更要知其所以然。
2. 概括能力。知识之间的联系，知识网络。
3. 发现问题，解决问题的能力。
4. 独立思考，深入研究的能力。